中国数学菲尔兹奖(数学菲尔兹奖 华人)

什么是数学？这似乎不能一概而论。每个对数学感兴趣的人或多或少都有自己的看法。正如一千个人读莎士比亚，就会有一千个哈姆雷特。今天小鹿就给大家介绍一个在数学上不可忽视的人。他就是日本著名数学家、亚洲第一位菲尔兹奖获得者小平先生。

小平的经历，但你知道吗？小平老师年轻的时候抄过书。当时他正在学习范瓦尔登的《代数学》，但是他根本看不懂，所以他一直在抄写这本书，直到看懂为止。他曾说自己天赋不高，但一丝不苟，投入到极致。

就是这样一个“普通人”，即使在战争时期也没有放弃对数学的研究和学习。1942年，因为偷袭珍珠港，日本与美国开战。小平因为对二次常微分方程的特征值感兴趣，发现了特征函数展开的一般公式。然后把结果写成《二阶常微分方程的特征值与 Heisenberg 的 S 矩阵理论》，让要去普林斯顿高等研究院的汤川秀树带给Weyl。然后Weyl帮他在美国数学杂志上发表了这篇文章。

在战时，外国杂志没有办法进入日本。后来，他艰难地完成了论文《黎曼流形中的调和场》(广义位势论)。他要求一名驻扎在日本的美国士兵将他的论文提交给《数学年鉴》。Weyl看了之后觉得这是一篇非常好的论文，于是决定聘请小平去普林斯顿高等研究院学习一年。所以他搬到了美国，开始了他的新生活。他是约翰霍普金斯大学、哈佛大学和斯坦福大学的教授。

小平\'的主要工作领域是调和积分理论，代数几何和复流形理论。他证明了代数曲面的Riemann-Roche定理，证明了窄Kaehler流形是代数流形，以及小平消失定理和嵌入定理。20世纪50年代，与D.C.Spencer一起，将黎曼的形变理论推广到高维复杂结构的形变理论，之后又进一步推广。他将代数曲面推广到复解析曲面，按小平面维数分类，证明了除直纹面外的极小模型的存在。他是日本科学院和美国国家科学院的院士。1959年获得日本学院奖和日本文化勋章。他在1954年获得了菲尔兹奖。1984年和1985年，他因在复流形和代数族研究方面的突出贡献获得了沃尔夫数学奖。

小平眼中的数学数学印象

我想坦率地告诉大家数学家眼中的数学印象，比如像我这样专门研究数学的数学家是如何看待数学的，以供读者参考。一般认为，数学是一门由严格逻辑构建的学科，如果不完全符合逻辑，也大致如此。其实数学和逻辑关系不大。当然，数学必须遵循逻辑。然而，逻辑对于数学的作用类似于语法对于文学的作用。写符合语法的文章和用语法来编织语言、创作小说是截然不同的。同样，按逻辑推理和用逻辑构建数学理论也不是一回事。一般逻辑谁都懂。如果把数学归为逻辑，那么任何人都可以理解数学。但是，众所周知，有很多初中生或者高中生是看不懂数学的，语言能力优秀而数学能力不足的学生非常普遍。所以，我认为数学和逻辑有本质的区别。

数字感

我们尝试去思考数学以外的自然科学，比如物理。物理学研究自然现象中的物理现象，同样，数学研究自然现象中的数学现象。那么，理解数学就相当于“观察”数学现象。这里的“观察”不是指“用眼睛看”，而是一定的感觉形成的感知。虽然这种感觉很难用语言来描述，但这是一种明显不同于逻辑推理能力的纯粹感觉。在我看来，这种感知几乎接近视觉。也许我们可以称之为直觉，但为了突出它的纯粹性，我在下面的表述中称之为“数感”。

直觉这个词的意思是“瞬间悟出真理”，所以不太恰当。数字的敏感度和听力差不多，也就是说基本上和智力无关(本质上无关，但不代表没有统计相关性)。但是，对数学的理解取决于对数字的感觉。就像乐感不好的人看不懂音乐一样，数感不好的人也看不懂数学。(当你辅导数学不好的孩子时，你能理解这种感受。对你来说已经显而易见的东西，对数学不好的孩子来说似乎不可能理解，所以你会苦于怎么解释。

数学家在证明定理的时候，并没有意识到自己的数感起了作用，所以认为自己已经按照缜密的逻辑证明了。事实上，只要用形式逻辑符号来分析证明，数学家就会发现事实并非如此。因为最终我们只会得到一串冗长的逻辑符号，实际上是无法证明定理的(当然我的观点不是指责证明过程的逻辑不严谨，而是指出数感可以帮助我们省略逻辑推理的过程，直接引导我们前进)。最近经常有人在说数学感觉，可以说数学感觉的基础是数感。所有的数学家天生都有敏锐的数字感，只是他们没有意识到而已。

理解数学的唯一方法

就算不做研究，光是看数学方面的书籍和论文也是很费时间的。如果只看定理，跳过证明过程，似乎很快就能看完两三本。但实际上，跳过证明的阅读方法就像是略读地平线，留下很浅的印象，结果会一无所获。想看懂数学书，只能按照证明过程一步步来。数学证明不是简单的演示，更是一个反思实验。

所谓理解的证明，不是确认论证是否有错误，而是试图重现思维实验的过程。换句话说，理解也可以说是自己的体验。不可思议的是，没有其他理解数学的方法。在物理学中，即使是最新的基本粒子理论，只要你读通俗的书，即使读者和专家的理解方法不同，你还是能大致理解或者至少感觉好像理解了。这是外行。

▌“丰富的”理论体系

现在数学的理论体系，一般是从公理体系出发，依次证明定理。公理系统仅仅是假定，只要不包含矛盾就行。数学家当然具有选取任何公理系统的自由。但是实际上，公理系统如果不能以丰富的理论体系为出发点，便毫无用处。公理系统不仅不包含矛盾，而且还必须是丰富的。考虑到这点，公理系统的自由选择范围就非常有限。在说明这个问题时，假设把数学的理论体系比作游戏，那么公理系统就相当于游戏规则。

公理系统越丰富意味着游戏越有趣。例如在围棋盘上布子的棋类游戏，现在我们熟知共有四种类型：围棋、五子棋和两种朝鲜围棋。换言之，此刻我们所熟知的公理系统只有四种。除这四种以外，还有没有其他有趣的游戏呢？例如四子棋、六子棋或者更普遍化的n 子棋又会是如何呢？其实下 n 子棋，当 n 小于 4 时先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无味；而当 n 大于 6 时，则永远分不出胜负，也毫无趣味。发现新的有趣游戏并不容易。

当然这只是我个人的想法，不过现在大概不太能再发现一个与围棋趣味相当的游戏了。数学也是同理，发现丰富的公理系统也极其困难，因此实际上根本不存在公理系统的选择自由。

▌理论中丰富的普遍化

数学家通常本能地偏爱“普遍化”。例如假设存在一个基于公理系统 A 的丰富的理论体系 S，那么下面的情况是很容易想到的，从 A 中去掉若干公理得到公理系统　B，再从 B 出发将 S “普遍化”，得到普遍性理论体系 T。稍加思索就觉得 T 是比 S 更丰富的体系，因为 T 是 S 的“普遍化”结果，但是在大多数情况下，实际尝试“普遍化”后会发现，T 的内容与预想相反，多是贫瘠不堪，令人失望。此时，与其说 T 是 S 的“普遍化”，还不如说是 S 的“稀疏化”。当然，并不是所有的“普遍化”都等同于“稀疏化”，数学自古以来都是通过“普遍化”而发展起来的。不过不得不说的是，近来的理论“普遍化”不断落入“稀疏化”的怪圈之中。

那么，能发展成为丰富理论的“普遍性”，其特征是什么呢？进一步说，作为丰富理论体系出发点的公理系统，其特征又是什么？现代数学对上述问题都不感兴趣。例如群论显然是比格论更为丰富的体系，但是比起格的公理系统，群的公理系统的优势是什么呢？此外，拓扑学、代数几何、多变量函数论等基本层的理论出发点（看起来似乎）都是不值一提的“普遍化”理论，即用函数替换以前的常数作为上同调群的系数。为什么说这实际上是非常丰富的“普遍化”呢？与此相反，连续几何被视为射影几何令人惊叹的“普遍化”，但为什么其发展停滞不前呢？将数学作为一种现象直接观察时，会发现这类问题不胜枚举。

这些问题都是完全没有价值的愚蠢问题吗？抑或能否建立一门以回答此类问题为目标、研究数学现象的学科，即数学现象学呢？这些问题，我也不清楚。不过我确信，如果能够建立这门学科，那它一定会非常有趣。不过从一开始会有一个明显的难题，那就是在开始研究数学的现象学前，首先必须对数学的主要领域有一个全面的、大概的了解。正如我在上文中提到的，解决这个难题需要花费大量的时间。这也是无法撰写数学现代史的原因所在。

以上就是一些有关小平邦彦先生的简单介绍。小平先生一生都在谦逊平和中坚持着自己所爱之事。他又是怎样看待他数学的一生呢？他对日本的数学发展又有怎么样的见解？而这些见解在当今的我国又是否适用呢？推荐给大家两本小平邦彦先生的新书《惰者集》和《几何世界的邀请》，一起走近小平先生的数学世界。

原文自: 图灵教育, 已获授权, [遇见数学] 特此感谢!

作者：小平邦彦(Kunihiko Kodaira)

译者：尤斌斌

解析“数感”与数学思维

反思数学教育中的功过得失

重塑独立思考能力与数学兴趣

理解数学需要具备一种纯粹的感觉，即“数感”。本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼•外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。